3种方法来求矩形对角线的长度

对角线是连接矩形的一个角及其对角的一条直线。一个矩形有两条对角线，它们长度相等。如果知道矩形各边的边长，你可以借助勾股定理轻易地算出对角线的长度，因为对角线将矩形分成了两个直角三角形。如果你不知道边长，但知道面积和周长，或边长之间的关系等其他信息，你可以先计算出矩形的长和宽，然后再用勾股定理算出对角线的长度。

方法 1 ：使用长和宽

1、列出勾股定理的公式。

该公式是a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

，其中a{\displaystyle a}

和b{\displaystyle b}

是直角三角形直角边的边长，而c{\displaystyle c}

是直角三角形的斜边长度。

由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。矩形的长和宽是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。

2、将长和宽代入到公式中。

长和宽应该是已知条件，又或者你可以量出它们的长度。确保你用长和宽代入的是a{\displaystyle a}

和b{\displaystyle b}

。

例如，如果矩形的宽是3 cm，而长是4 cm，代入公式后得到如下等式：32+42=c2{\displaystyle 3^{2}+4^{2}=c^{2}}
。

3、算出长和宽的平方，然后相加求和。

记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。

例如：32+42=c2{\displaystyle 3^{2}+4^{2}=c^{2}}
9+16=c2{\displaystyle 9+16=c^{2}}
25=c2{\displaystyle 25=c^{2}}

4、将等式两边开平方。

最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。这样可以算出c{\displaystyle c}

的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。

例如：25=c2{\displaystyle 25=c^{2}}
25=c2{\displaystyle {\sqrt {25}}={\sqrt {c^{2}}}}
5=c{\displaystyle 5=c}
因此，宽为3 cm，而长为4 cm的矩形，其对角线的长度是5 cm。

方法 2 ：使用面积和周长

1、列出矩形的面积公式。

该公式是A=lw{\displaystyle A=lw}

，其中A{\displaystyle A}

为矩形的面积，l{\displaystyle l}

为矩形的长，而w{\displaystyle w}

为矩形的宽。

2、将矩形的面积代入到公式中。

确保你代入的是变量A{\displaystyle A}

。

例如，如果矩形的面积是35平方厘米，则代入后得到如下等式：35=lw{\displaystyle 35=lw}
。

3、变换等式，使之变成w{\displaystyle w}

的表达式。等式两边都除以l{\displaystyle l}

。将这个表达式放到一边。稍后你会将它代入周长公式。

例如：35=lw{\displaystyle 35=lw}
35l=w{\displaystyle {\frac {35}{l}}=w}
。

4、列出矩形的周长公式。

该公式是P=2(w+l){\displaystyle P=2(w+l)}

，其中w{\displaystyle w}

为矩形的宽，而l{\displaystyle l}

为矩形的长。

5、将周长的值代入到公式中。

确保你代入的是变量P{\displaystyle P}

。

例如，如果矩形的周长是24厘米，则代入后会得到如下等式：24=2(w+l){\displaystyle 24=2(w+l)}
。

6、等式两边都除以2。

这样就算出了w+l{\displaystyle w+l}

的值。

例如：24=2(w+l){\displaystyle 24=2(w+l)}
242=2(w+l)2{\displaystyle {\frac {24}{2}}={\frac {2(w+l)}{2}}}
12=w+l{\displaystyle 12=w+l}
。

7、将w{\displaystyle w}

的表达式代入到等式中。使用你变换面积公式得到的表达式。

例如，如果使用你变换而得的表达式35l=w{\displaystyle {\frac {35}{l}}=w}
，把它代入周长公式中的w{\displaystyle w}
：12=w+l{\displaystyle 12=w+l}
12=35l+l{\displaystyle 12={\frac {35}{l}}+l}

8、去掉等式中的分母。

等式两边都乘以l{\displaystyle l}

。

例如：12=35l+l{\displaystyle 12={\frac {35}{l}}+l}
12×l=(35l×l)+(l×l){\displaystyle 12\times l=({\frac {35}{l}}\times l)+(l\times l)}
12l=35+l2{\displaystyle 12l=35+l^{2}}

9、使等式一边等于0。

等式两边都减去一次项。

例如：12l=35+l2{\displaystyle 12l=35+l^{2}}
12l?12l=35+l2?12l{\displaystyle 12l-12l=35+l^{2}-12l}
0=35+l2?12l{\displaystyle 0=35+l^{2}-12l}

10、按项次对等式重新排序。

这意味着带指数的项排第一个，然后是带变量的项，最后是常量。重新排序时，请注意保留正确的正、负符号。你应该注意到了，这个等式现在变成了一个二次方程。

例如，0=35+l2?12l{\displaystyle 0=35+l^{2}-12l}
变成了0=l2?12l+35{\displaystyle 0=l^{2}-12l+35}
。

11、将二次方程因式分解。

关于如何进行此步骤的完整说明，请阅读解二次方程。

例如，方程0=l2?12l+35{\displaystyle 0=l^{2}-12l+35}
可因式分解成0=(l?7)(l?5){\displaystyle 0=(l-7)(l-5)}
。

12、求l{\displaystyle l}

的值。令各项等于零，求出变量。你会得到方程的两个解，或两个根。由于你面对的是一个矩形，所以得到的两个根是矩形的宽和长。

例如：0=(l?7){\displaystyle 0=(l-7)}
7=l{\displaystyle 7=l}
及0=(l?5){\displaystyle 0=(l-5)}
5=l{\displaystyle 5=l}
。因此，矩形的长和宽分别为7 cm和5 cm。

13、列出勾股定理的公式。

该公式是a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

，其中a{\displaystyle a}

和b{\displaystyle b}

是直角三角形直角边的边长，而c{\displaystyle c}

是直角三角形斜边的边长。

由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。矩形的宽和长是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。

14、将宽和长代入到公式中。

此时，长可以随意代入到a或b中，将宽代入另一个即可。

例如，如果你算出矩形的宽和长为5 cm和7 cm，代入后得到如下等式：52+72=c2{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}
。

15、算出宽和长的平方，然后相加求和。

记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。

例如：52+72=c2{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}
25+49=c2{\displaystyle 25+49=c^{2}}
74=c2{\displaystyle 74=c^{2}}

16、将等式两边开平方。

最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。这样可以算出c{\displaystyle c}

的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。

例如：74=c2{\displaystyle 74=c^{2}}
74=c2{\displaystyle {\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}}
8.6024=c{\displaystyle 8.6024=c}
因此，面积为35cm2{\displaystyle 35cm^{2}}
而周长为24 cm的矩形，其对角线长度约等于8.6 cm。

方法 3 ：使用面积和边长的相对关系

1、写下能够说明两条边边长之间关系的等式。

你可以将之写成长(l{\displaystyle l}

)或宽(w{\displaystyle w}

)的表达式。将这个等式放到一边。稍后你会将它代入面积公式。

例如，如果已知矩形的宽比矩形的长要长2 cm，你可以列出w{\displaystyle w}
的表达式：w=l+2{\displaystyle w=l+2}
。

2、列出矩形的面积公式。

该公式是A=lw{\displaystyle A=lw}

，其中A{\displaystyle A}

为矩形的面积，l{\displaystyle l}

为矩形的长，而w{\displaystyle w}

为矩形的宽。

如果知道矩形的周长，你也可以使用这种方法，不过列出的应该是周长公式，而非面积公式。矩形的周长公式是P=2(w+l){\displaystyle P=2(w+l)}
，其中w{\displaystyle w}
为矩形的宽，而l{\displaystyle l}
为矩形的长。

3、将矩形的面积代入到公式中。

确保你代入的是变量A{\displaystyle A}

。

例如，如果矩形的面积是35平方厘米，则代入后得到如下等式：35=lw{\displaystyle 35=lw}
。

4、将长或宽的关系表达式代入公式中。

由于你面对的是一个矩形，所以求l{\displaystyle l}

或w{\displaystyle w}

变量的值都可以。

例如，如果你知道w=l+2{\displaystyle w=l+2}
，可以将这个表达式代入面积公式中的w{\displaystyle w}
：35=lw{\displaystyle 35=lw}
35=l(l+2){\displaystyle 35=l(l+2)}

5、列出二次方程。

用括号前的系数乘以括号内的各项，然后使方程的一边等于0。

例如：35=l(l+2){\displaystyle 35=l(l+2)}
35=l2+2l{\displaystyle 35=l^{2}+2l}
0=l2+2l?35{\displaystyle 0=l^{2}+2l-35}

6、将二次方程因式分解。

关于如何进行此步骤的完整说明，请阅读解二次方程。

例如，方程0=l2+2l?35{\displaystyle 0=l^{2}+2l-35}
可因式分解成0=(l+7)(l?5){\displaystyle 0=(l+7)(l-5)}
。

7、求l{\displaystyle l}

的值。令各项等于零，求出变量。你会求出方程的两个解，或两个根。

例如：0=(l+7){\displaystyle 0=(l+7)}
?7=l{\displaystyle -7=l}
及0=(l?5){\displaystyle 0=(l-5)}
5=l{\displaystyle 5=l}
。在本例中，你会得到一个负数根。由于矩形的长不可能为负数，所以长必定为5 cm。

8、将长或宽的值代入到关系表达式中。

这样就算出了矩形另一条边的边长。

例如，如果你知道矩形的长为5 cm，且边长之间的关系为w=l+2{\displaystyle w=l+2}
，可以将长的值5代入到表达式中：w=l+2{\displaystyle w=l+2}
w=5+2{\displaystyle w=5+2}
w=7{\displaystyle w=7}

9、列出勾股定理的公式。

该公式是a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

，其中a{\displaystyle a}

和b{\displaystyle b}

是直角三角形直角边的边长，而c{\displaystyle c}

是直角三角形斜边的边长。

由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。矩形的宽和长是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。

10、将宽和长代入到公式中。

此时，长可以随意代入到a或b中，将宽代入另一个即可。

例如，如果你算出矩形的宽和长为5 cm和7 cm，代入后得到如下等式：52+72=c2{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}
。

11、算出宽和长的平方，然后相加求和。

记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。

例如：52+72=c2{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}
25+49=c2{\displaystyle 25+49=c^{2}}
74=c2{\displaystyle 74=c^{2}}

12、将等式两边开平方。

最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。这样可以算出c{\displaystyle c}

的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。

例如：74=c2{\displaystyle 74=c^{2}}
74=c2{\displaystyle {\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}}
8.6024=c{\displaystyle 8.6024=c}
因此，宽比长要长2 cm，且面积为35cm2{\displaystyle 35cm^{2}}
的矩形，其对角线的长度约等于8.6 cm。