3种方法来解三次方程

三次方程的最高次数为3次，它有3个解，或者说3个根，方程本身的形式是ax^3+bx^2+cx+d=0。虽然三次方程有些令人望而生畏，并且的确不好解，但在具备大量基础知识的前提下，只要使用正确的方法，即使是最棘手的三次方程问题也可以顺利求解。三次方程的解法有很多种，你可以尝试使用二次公式、求整数解或确定判别式方法。

方法 1 ：解不含常数项的三次方程

1、检查三次方程，看是否包含常数项d{\displaystyle d}

。三次方程的形式为ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}

。但是，唯一必要的关键项是x3{\displaystyle x^{3}}

，这意味着三次方程中未必会出现其他项。

如果方程中包含常数项d{\displaystyle d}
，那么你就必须使用其它解法。
如果a=0{\displaystyle a=0}
，那么这个方程就不是三次方程。

2、提取方程的公因式x{\displaystyle x}

。由于方程没有常数项，所以其中各项都包含变量x{\displaystyle x}

。也就是说，可以提取方程的公因式x{\displaystyle x}

来简化方程。这样做之后，可以将方程重写为x(ax2+bx+c){\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)}

。

例如，假设我们一开始要解的方程是3x3?2x2+14x=0{\displaystyle 3x^{3}-2x^{2}+14x=0}
。
提取方程的公因式x{\displaystyle x}
，得到x(3x2?2x+14)=0{\displaystyle x(3x^{2}-2x+14)=0}
。

3、如果可能，将得到的二次方程因式分解。

很多情况下，提取公因式x{\displaystyle x}

后得到的二次方程ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c}

都能被因式分解。例如，如果要解x3+5x2?14x=0{\displaystyle x^{3}+5x^{2}-14x=0}

，你可以：

提取公因式x{\displaystyle x}
：x(x2+5x?14)=0{\displaystyle x(x^{2}+5x-14)=0}
将括号内的二次方程因式分解：x(x+7)(x?2)=0{\displaystyle x(x+7)(x-2)=0}
设各因式等于0{\displaystyle 0}
。得到方程的解x=0,x=?7,x=2{\displaystyle x=0,x=-7,x=2}
。

4、如果无法手动对括号内的部分进行因式分解，可使用二次公式求解。

你可以将a{\displaystyle a}

、b{\displaystyle b}

、c{\displaystyle c}

的值代入二次公式(?b±b2?4ac2a{\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

)中，算出使二次方程等于0的x值。使用这种方法可以求出三次方程的两个解。

示例中，将a{\displaystyle a}
、b{\displaystyle b}
和c{\displaystyle c}
的值3{\displaystyle 3}
、?2{\displaystyle -2}
和14{\displaystyle 14}
分别代入到以下二次公式：
?b±b2?4ac2a{\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
?(?2)±((?2)2?4(3)(14)2(3){\displaystyle {\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}}
2±4?(12)(14)6{\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}}
2±(4?1686{\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}}
2±?1646{\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}}
解1:
2+?1646{\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}}
2+12.8i6{\displaystyle {\frac {2+12.8i}{6}}}
解2:
2?12.8i6{\displaystyle {\frac {2-12.8i}{6}}}

5、零和二次方程的解就是三次方程的解。

二次方程有两个解，而三次方程有三个。你已经求出其中的两个解，即你为括号中"二次"部分求出的解。对于可以用"因式分解"方法求解的方程，第三个解一定为0{\displaystyle 0}

。

将方程分解为包含两个因式的形式x(ax2+bx+c)=0{\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)=0}
，左边的因式是变量x{\displaystyle x}
，右边的因式是括号内的二次方程。如果任一因式等于0{\displaystyle 0}
，则整个方程等于0{\displaystyle 0}
。
因此，使括号内的二次因式等于0{\displaystyle 0}
的两个解是三次方程的解，而使左边因式等于0{\displaystyle 0}
的0{\displaystyle 0}
本身，也是三次方程的解。

方法 2 ：使用因数表求整数解

1、确保三次方程有一个d{\displaystyle d}

值不等于零的常数项。如果形式为ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}

的方程拥有一个不等于零的d{\displaystyle d}

值，那就无法将它因式分解为二次方程。但是不用担心，你还可以使用其他方法，比如下文中介绍的方法。

以方程2x3+9x2+13x=?6{\displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x=-6}
为例。这个方程中，要让等号的右边等于0{\displaystyle 0}
，你需要两边都加6{\displaystyle 6}
。
得到新的方程2x3+9x2+13x+6=0{\displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x+6=0}
。由于d=6{\displaystyle d=6}
，你无法使用二次方程方法。

2、找出a{\displaystyle a}

和d{\displaystyle d}

的因数。要解三次方程，我们需要先关注x3{\displaystyle x^{3}}

项的系数a{\displaystyle a}

以及方程最后的常数项d{\displaystyle d}

，找出它们各自的因数。记住，如果两个数字相乘得到另一个数，那么这两个数就是乘积的因数。

例如，由于你可以用6×1{\displaystyle 6\times 1}
和2×3{\displaystyle 2\times 3}
得到6，所以1、2、3、6就是6的因数。
例题中，a=2{\displaystyle a=2}
，而d=6{\displaystyle d=6}
。2的因数是1和2。6的因数是1、2、3、6。

3、用a{\displaystyle a}

的因数除以d{\displaystyle d}

的因数。将a{\displaystyle a}

的各因数除以d{\displaystyle d}

的各因数所得的值罗列出来。这样做通常会得到许多分数和几个整数。三次方程的整数解要么是其中的一个整数，要么是其中一个整数的相反数。

例题中，用a{\displaystyle a}
的因数1和2除以d{\displaystyle d}
的因数1、2、3、6，得到：1{\displaystyle 1}
，12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
，13{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
，16{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
，2{\displaystyle 2}
和23{\displaystyle {\frac {2}{3}}}
。然后，我们将各数字的相反数加入进去，使之更加完整：1{\displaystyle 1}
，?1{\displaystyle -1}
，12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
，?12{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}
，13{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
，?13{\displaystyle -{\frac {1}{3}}}
，16{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
，?16{\displaystyle -{\frac {1}{6}}}
，2{\displaystyle 2}
，?2{\displaystyle -2}
，23{\displaystyle {\frac {2}{3}}}
和?23{\displaystyle -{\frac {2}{3}}}
。三次方程的整数解就在其中。

4、手动代入整数，这种方法较为简单，但可能会比较费时。

得到相除的结果后，你可以迅速将整数手动代入，看哪些能让三次方程等于0{\displaystyle 0}

，进而求出方程的解。例如，如果将1{\displaystyle 1}

代入方程，可以得到：

2(1)3+9(1)2+13(1)+6{\displaystyle 2(1)^{3}+9(1)^{2}+13(1)+6}
，即2+9+13+6{\displaystyle 2+9+13+6}
，结果不等于0{\displaystyle 0}
。因此，使用得到的下一个值。
如果将?1{\displaystyle -1}
代入方程，得到(?2)+9+(?13)+6{\displaystyle (-2)+9+(-13)+6}
，结果等于0{\displaystyle 0}
。这意味着?1{\displaystyle -1}
是方程的一个整数解。

5、使用更复杂，但可能更快速的综合除法。

如果你不想花时间一个一个地去代入所有的值，不妨尝试一下更快捷的方法，也就是所谓的综合除法。总的来说，你应该使用综合除法，用得到的整数值除以a{\displaystyle a}

、b{\displaystyle b}

、c{\displaystyle c}

和d{\displaystyle d}

。如果得到余数0{\displaystyle 0}

，那么这个值就是三次方程的解。

综合除法是一个复杂的主题，超出了本文论述的范围。以下的例子示范了如何用综合除法求三次方程的解：
-1 | 2 9 13 6
__| -2-7-6
__| 2 7 6 0
由于得到的最终余数为0{\displaystyle 0}
，由此可知，?1{\displaystyle -1}
是三次方程的一个整数解。

方法 3 ：使用判别式方法

1、写下a{\displaystyle a}

、b{\displaystyle b}

、c{\displaystyle c}

和d{\displaystyle d}

的值。本方法会大量用到方程各项的系数。开始前，记下a{\displaystyle a}

、b{\displaystyle b}

、c{\displaystyle c}

和d{\displaystyle d}

的值，免得之后混淆。

对于例题x3?3x2+3x?1{\displaystyle x^{3}-3x^{2}+3x-1}
，写下a=1{\displaystyle a=1}
、b=?3{\displaystyle b=-3}
、c=3{\displaystyle c=3}
和d=?1{\displaystyle d=-1}
。注意，如果有x{\displaystyle x}
变量前没有系数，这代表它的系数为1{\displaystyle 1}
。

2、使用正确的公式计算判别式零。

用判别式方法求三次方程的解会用到十分复杂的数学原理，但如果严格遵循方法流程，你会发现，它在解令其他方法束手无策的三次方程方面十分实用。首先，将适当的值代入到公式Δ0=b2?3ac{\displaystyle \Delta _{0}=b^{2}-3ac}

中，求出第一个重要数值，即判别式零Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}

。

判别式是一个数字，可以为我们提供关于多项式根的信息。你可能已经知道二次判别式是(b2?4ac{\displaystyle b^{2}-4ac}
)。
例题中的计算过程如下：
b2?3ac{\displaystyle b^{2}-3ac}
(?3)2?3(1)(3){\displaystyle (-3)^{2}-3(1)(3)}
9?3(1)(3){\displaystyle 9-3(1)(3)}
9?9=0=Δ0{\displaystyle 9-9=0=\Delta _{0}}

3、然后，计算Δ1=2b3?9abc+27a2d{\displaystyle \Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d}

。你需要的下一个重要数值是判别式1{\displaystyle 1}

，即Δ1{\displaystyle \Delta _{1}}

，它的计算过程会稍微复杂一点，但方法与Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}

基本相同。将适当的值代入到公式2b3?9abc+27a2d{\displaystyle 2b^{3}-9abc+27a^{2}d}

中，得到Δ1{\displaystyle \Delta _{1}}

的值。

例题中的计算过程如下：
2(?3)3?9(1)(?3)(3)+27(1)2(?1){\displaystyle 2(-3)^{3}-9(1)(-3)(3)+27(1)^{2}(-1)}
2(?27)?9(?9)+27(?1){\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)}
?54+81?27{\displaystyle -54+81-27}
81?81=0=Δ1{\displaystyle 81-81=0=\Delta _{1}}

4、计算:

Δ=(Δ12?4Δ03)÷?27a2{\displaystyle \Delta =(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div -27a^{2}}

。然后，我们会使用Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}

和Δ1{\displaystyle \Delta _{1}}

的值计算三次方程的判别式。在三次方程中，如果判别式为正数，则方程有三个实数解。如果判别式等于零，则方程有一个或两个实数解，且有时两个实数解会相等。如果判别式为负数，则方程只有一个实数解。

三次方程必定有至少一个实数解，因为其函数图形必定会与X轴相交至少一次。
例题中，由于Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}
和Δ1{\displaystyle \Delta _{1}}
都等于0{\displaystyle 0}
，所以Δ{\displaystyle \Delta }
的计算相对简单。计算过程如下：
(Δ12?4Δ03)÷(?27a2){\displaystyle (\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div (-27a^{2})}
((0)2?4(0)3)÷(?27(1)2){\displaystyle ((0)^{2}-4(0)^{3})\div (-27(1)^{2})}
0?0÷27{\displaystyle 0-0\div 27}
0=Δ{\displaystyle 0=\Delta }
，所以方程有一个或两个解。

5、计算:

C=3(Δ12?4Δ03+Δ1)÷2{\displaystyle C=^{3}{\sqrt {\left({\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}+\Delta _{1}\right)\div 2}}}

。最后一个需要计算的重要数值是C{\displaystyle C}

。它能帮助我们在最后求出三个根。按照正常计算过程，根据需要代入 Δ1{\displaystyle \Delta _{1}}

和Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}

。

例题中，C{\displaystyle C}
的计算过程如下：
3(Δ12?4Δ03)+Δ1÷2{\displaystyle ^{3}{\sqrt {{\sqrt {(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})+\Delta _{1}}}\div 2}}}
3(02?4(0)3)+(0)÷2{\displaystyle ^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0^{2}-4(0)^{3})+(0)}}\div 2}}}
3(0?0)+0÷2{\displaystyle ^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0-0)+0}}\div 2}}}
0=C{\displaystyle 0=C}