勾股定理描述了直角三角形三条边之间的关系，公式简单而且直观，至今仍被广泛应用。勾股定理的具体内容是，对于任意一个直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方。用字母a、b表示两条直角边的长度，c代表斜边的长度，则勾股定理的公式为 a2 + b2 = c2。勾股定理是几何学的重要定理之一，有着广泛的应用，比如可以用于求坐标系中两点的直线距离。
方法 1 ：确定直角三角形的边
1、确保三角形是直角三角形。
勾股定理只适用于直角三角形中，所以，在应用定理之前，你需要先确定三角形是否是直角三角形，这一点非常重要。幸好，区分直接三角形和别的三角形的方法只有一个，那就是看一个三角形中是否有一个90度的角。
- 直角通常用小方格来标注出来，而不是用一道弧线标注。在三角形中找到相应的标注，就能将确定一个三角形是否是直角三角形。
2、确定变量a，b，c对应的三角形的边。
在勾股定理中，a，b表示直角三角形的两条直角边，而c用来表示斜边，即直角对应的那条最长的边。所以，先给两条直角边分别标注上a，b（具体的对应关系没有要求），而斜边标注上c。
3、确定你所要求的边。
使用勾股定理可以求出直角三角形的任意一条边的长度，但前提是知道另外两条边的长度。先确定哪一条边的长度是未知的——a，b或者c。如果只有一条边的长度是未知的，那么就可以使用勾股定理求它的长度了。
- 比如，如果我们知道斜边长度为5，一条直角边的长度为3，但是我们不知道另一条直角边的长度。在这种情况下，我们已知两条边的长度，第三边的长度是可以使用勾股定理求出来的。只需要根据下面的步骤做就可以。
- 但如果有两条边的长度未知，你需要想办法求出其中一条边的长度才能使用勾股定理。如果你知道三角形中非直角的一个角的度数，你可以使用三角函数求出一条边的长度。
4、代入。
将两条已知边的长度带入到公式a2 + b2 = c2中，其中a和b对应的是两直角边的长度，而c代表斜边长度。
- 在上面的例子中，我们知道一条直角边和斜边的长度（3和5），然后将3和5代入到公式中，有32 + b2 = 2。
5、计算平方。
首先，计算两条已知边长度的平方值。或者，你也可以先不计算出来，然后保留平方，带到式子中直接计算平方和。
- 在上述例子中，3和5的平方分别是9和25，所以方程可以改写为9 + b2 = 25。
6、将未知变量移到等号一边。
如果有必要的话，运用基本的代数操作，将未知变量移动到等号一侧，而将已知变量移动到等号的另一侧。如果你要求的是斜边长，那么就不需要再移动变量了。
- 在上述例子中，方程式是9 + b2 = 25。两边同时减去9，等式变为b2= 16。
7、求开方。
现在等式两边一边是数字，另一边是变量，然后同时求两边的平方根。
- 在上述例子中b2 = 16，两边同时求平方根，有b = 4。因此，未知边的长度就是4。
8、使用勾股定理求解实际问题。
勾股定理之所以至今都被广泛运用，是因为它可以解决很多实际问题。了解一下可以应用勾股定理的场景，比如两个物体或者直线呈90度，然后另一个物体或者直线依靠在它们上面，共同构成一个直角三角形。这时，你可以使用勾股定理，在已知两边长度的情况下，求第三条边的长度。
- 来求一个比较复杂的实际问题。一把梯子依靠在墙上，梯子底部到墙的距离是5米，而梯子顶部到地面的距离是20米，求梯子的长度。
- "梯子底部到墙的距离是5米”和"梯子顶部到地面的距离是20米”，给出了直角三角形两条直角边的长度。由于墙和地面是呈直角的，而梯子斜靠在墙上，我们可以令a=5，b=20，应用勾股定理求斜边c的长度，也就是梯子的长度：
- a2 + b2 = c2;
- (5)2; + (20)2; = c2;
- 25 + 400 = c2;
- 425 = c2;
- sqrt(425) = c
- c = 20.6，梯子的长度大约是20.6米。
方法 2 ：在直角坐标系中求两点的直线距离
1、定义直接坐标系中的点。
勾股定理可以被用来求直角坐标系中求两点的直线距离。而你需要知道这两个点的坐标。通常，点的坐标是用(x, y)表示的。
- 为求两点直线距离，我们要把这两个点当做直接三角形的两个非直角点。然后就可以求出a和b的值，继而算出斜边c的值，即两点间的距离。
2、在图中标出两个点。
在直接坐标系中，每一个点都可以用(x,y)的形式来表示，其中x是横坐标，而y是纵坐标。其实，就算你不在图中标出这两个点，你也依旧可以求出两点之间的距离，但是这样做的好处是，可以给你直观的图示，以便你确定结果是否准确。
3、找到直角三角形的直角边。
所求两点作为直角三角形的非直角点，然后求出a和b的长度。你既可以在图中画出来，也可以利用公式|x1 - x2|算出水平的直角边长度，用公式|y1 - y2|算出垂直的直角边长度，其中(x1,y1)代表第一个点的坐标，而(x2,y2)代表第二个点。
- 比如求(6,1)和(3,5)的距离。水平直角边长度：
- |x1 - x2|
- |3 - 6|
- | -3 | = 3
垂直直角边长度：
- |y1 - y2|
- |1 - 5|
- | -4 | = 4
然后我们就能得到三角形两直角边长度，a = 3，b = 4。
4、使用勾股定理求斜边。
两点间的距离就是你之前画出的三角形的斜边长度。使用勾股定理，代入直角边a和b的数值，求斜边长度。
- 在上述例子中，直角边长度分别是3和4，所以求斜边的步骤为：
- (3)2+(4)2= c2;
- c= sqrt(9+16)
- c= sqrt(25)
- c= 5，(3,5)和(6,1)的距离是5。
小提示
- 如果三角形不是直角三角形，那么你还需要更多的数据。
- 斜边是：
- 直角面对的那条边(而非组成直角的边)
- 直角三角形中最长的一条边
- 勾股定理中c代表的那条边
sqrt(x)是指“x的平方根”。
记得在计算后再次检查你的运算。如果你的答案错误，那就从头再做一遍所有的运算。
如果你只知道三角形的一条边长，那么你无法利用勾股定理求其他的边长。尝试利用三角函数(sin, cos, tan)或通过特殊三角形的30-60-90 / 45-45-90比值确定边长。
作图是求三角形a、b、c三边长的关键。如果题目中的信息全是通过文字叙述的，那么在解题前，你需要先将文字转化为图形再进行计算。
最长边对应角的角度是最大的，而最短边对应角的角度是最小的，按照这个原则检查一下最后的结果是否正确。
