有理式需要被化简到最简形式。如果公因式是个简单因子的话，这个过程并不复杂。但是如果是个复杂的多项式，这个过程会有点困难。下文中将告诉你面对不同的表达式时，怎样化简有理式。 观察题目。只包含单项式的有理式是最容易化简的，你只要将分子和分母所包含的公公因子约去即可。
方法 1 ：只含单项式的有理式
1、观察题目。
只包含单项式的有理式是最容易化简的，你只要将分子和分母所包含的公公因子约去即可。
- 本文中“单”代表“一个”的意思。
- 例: 4x/8x2
2、约掉所有的公共因子。
观察表达式中的字母变量，如果在分子和分母中同时都出现，就可以将这个变量从两边的表达式中约去。
- 换句话说，如果一个变量在分子和分母中都只出现一次，那么就可以被彻底约掉： x/x = 1/1 = 1
- 如果变量在分子或分母中都以幂次的形式出现，那么就将高次项的幂次减去低次项的幂次即可： x4/x2 = x2/1
- 例: x/x2 = 1/x
3、化简常数项。
如果分子和分母的常数项含有公因子的话，那么就分别除去常数项的公因数至最简形式: 8/12 = 2/3
- 如果常数项不含公因数，那就不用化简: 7/5
- 如果一个常数能被另一个整除的话，就被认为是同类项: 3/6 = 1/2
- 例: 4/8 = 1/2
4、写出最后的答案，写答案的时候要将分别化简后的变量和常数项重新组合在一起。
- 例: 4x/8x2 = 1/2x
方法 2 ：含有单项式因子的二项式或多项式
1、观察题目。
如果表达式的一部分是单项式，而另一部分是二项式或多项式，那么就需要你判断能否通过在分子和分母中同除一个单项式来进行化简。
- 在本文中，“单”代表“一个”，“二”代表两个，“多”代表“两个以上”。
- 例: (3x)/(3x + 6x2)
2、提取公因式。
如果式子中的每一项都含有一个相同的变量，那么这个变量就可以看作是这个式子的一个因子。
- 只有当式子中的每一项都含有该变量时这个做法才是对的： x/x3 – x2 + x = (x)(x2 – x + 1)
- 如果式子中有一项不含这个变量，就不能提取公因式： x/x2 + 1
- 例: x/(x + x2) = [(x)(1)] / [(x)(1 + x)]
3、将常数项的公因子也提取出来。
如果代数式中的所有常数项含有公因数，那么就将分子和分母中的每一项都除以这个公因数。
- 如果有一个常数项能够被其他所有项整除，那么这一项就是所有项的最大公因数: 2 / (2 + 4) = 2 * [1 / (1 + 2)]
- 只有当式子中的所有项都含有这个公因数时，这样的作法才是正确的: 9 / (6 – 12) = 3 * [3 / (2 – 4)]
- 如果其中有不含这个公因数的项，那就不能化简。: 5 / (7 + 3)
- 例: 3/(3 + 6) = [(3)(1)] / [(3)(1 + 2)]
4、提出公因式。
将化简过后的变量和常数项重新组合在一起，写出公因式的形式。将分子和分母同时提出这个公因式，留下不能再被进一步化简的部分。
- 例: (3x)/(3x + 6x2) = [(3x)(1)] / [(3x)(1 + x)]
5、写出最后的答案。
将提取出的公因式约掉得到的就是化简好的有理式。
- 例: [(3x)(1)] / [(3x)(1 + x)] = 1/(1 + x)
方法 3 ：含有二项式因子的二项式或多项式
1、观察题目。
如果有理式中不包含单项式因子，那么就需要从分子和分母中分解出二项式因子。
- 在本文中，“单”代表“一个”，“二”代表两个，“多”代表“两个以上”。
- 例: (x2 - 4) / (x2 - 2x - 8)
2、将分子分解成二项式相乘的形式。
因式分解时你必须要决定可能的关于x的分解形式。
- 例: (x2 – 4) = (x - 2) * (x + 2)
- 为了求出关于x的解，我们需要把关于x的项放到等式一边，常数项放到等式另外一边: x2 = 4
- 两边开根号，将x化为一次项。: √x2 = √4
- 注意任何一个数开平方根都可以得到一个正根和一个负根，因此，x的解为: -2, +2
- 根据上面得到的结果，我们可以将(x2 – 4) 进行因式分解化为: (x - 2) * (x + 2)
通过将分解好的多项式乘回去可以检查分解的结果正确与否。如果你对结果的正确性没有自信的话，就把多项式乘回去，看看是不是和原来的式子一致。
- 例: (x - 2) * (x + 2) = x2 + 2x - 2x – 4 = x2 – 4
3、同样将分母也分解为二项式相乘的形式。
同样你需要求出这个等式中x的解。
- 例: (x2 - 2x – 8) = (x + 2) * (x – 4)
- 为了求解x，我们将常数项放到等式一边，含x的项放在等式另一端。: x2 ? 2x = 8
- 将x的一次项系数除二，然后再两端加上配方所需的常数: x2 ? 2x + 1 = 8 + 1
- 将等式化简为完全平方式的形式: (x ? 1)2 = 9
- 两边同时开根号: x ? 1 = ±√9
- 求得x的解: x = 1 ±√9
- 对于二次多项式来说，x有两个可能的解。
- x = 1 - 3 = -2
- x = 1 + 3 = 4
- 因此, (x2 - 2x – 8)可以被分解为 (x + 2) * (x – 4)
将分解后得到的式子乘回去进行检查。如果你对得到的答案没有把握的话，就把分解后的式子乘回去，看看能不能得到原来的表达式。
- 例: (x + 2) * (x – 4) = x2 – 4x + 2x – 8 = x2 - 2x - 8
4、约掉公因式。
找到分子和分母之间的公因式，将公因式提取出来，留下不含公因式的有理式。
- 例: [(x - 2)(x + 2)] / [(x + 2)(x – 4)] = (x + 2) * [(x – 2) / (x – 4)]
5、写出答案。
将公因式约掉后就可以得到化简后的答案。
- 例: (x + 2) * [(x – 2) / (x – 4)] = (x – 2) / (x – 4)
你需要准备
- 计算器
- 铅笔
- 纸
